فعالیت صفحه 83 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 83 ریاضی دهم - بخش ۱ سلام! این فعالیت در مورد **تعیین علامت** یک **عبارت خطی** ($y = ax + b$) با استفاده از **نمودار** آن است. علامت $y$ (که همان علامت عبارت خطی است) مستقیماً از موقعیت نمودار نسبت به **محور $x$ها** مشخص می‌شود. ### **تحلیل نمودار $y = 2x - 6$** 1. **نقطه‌ی تعیین علامت (ریشه):** نمودار محور $x$ها را در $x=3$ قطع کرده است. در این نقطه، $\mathbf{y = 0}$ است. 2. **سمت چپ ریشه ($x < 3$):** * همان‌طور که در نمودار می‌بینید، برای مقادیر $x$ کوچک‌تر از $3$، نمودار **زیر محور $x$ها** قرار دارد. * در این ناحیه، $y$ دارای مقدار **منفی** است. $$\text{برای } x < 3, \quad y = 2x - 6 \quad \mathbf{-}$$ 3. **سمت راست ریشه ($x > 3$):** * برای مقادیر $x$ بزرگ‌تر از $3$， نمودار **بالای محور $x$ها** قرار دارد. * در این ناحیه، $y$ دارای مقدار **مثبت** است. $$\text{برای } x > 3, \quad y = 2x - 6 \quad \mathbf{+}$$ **تکمیل جدول:** | $\mathbf{x}$ | $x < 3$ | $3$ | $x > 3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{y = 2x - 6}$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 83 ریاضی دهم - بخش ۲ در این بخش، خطی با **شیب منفی** داریم ($a = -2$). شیب منفی باعث می‌شود که علامت عبارت در مقایسه با شیب مثبت، **معکوس** شود. ### **گام ۱: پیدا کردن ریشه‌ی معادله (نقطه‌ی تعیین علامت)** ریشه، جایی است که $\mathbf{y = 0}$ است: $$-2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow \mathbf{x = 3}$$ **پاسخ جاهای خالی (x):** ریشه‌ی تعیین علامت $3$ است. ### **گام ۲: رسم و تحلیل نمودار $\mathbf{y = -2x + 6}$** * **شیب:** $m = -2$ (خط نزولی است.) * **عرض از مبدأ:** $b = 6$ (نقطه $(0, 6)$) * **طول از مبدأ:** $x = 3$ (نقطه $(3, 0)$) 1. **سمت چپ ریشه ($x < 3$):** چون خط نزولی است، برای $x$های کوچک‌تر از $3$، نمودار **بالای محور $x$ها** قرار دارد. $$\text{برای } x < 3, \quad y = -2x + 6 \quad \mathbf{+}$$ 2. **سمت راست ریشه ($x > 3$):** برای $x$های بزرگ‌تر از $3$، نمودار **زیر محور $x$ها** قرار دارد. $$\text{برای } x > 3, \quad y = -2x + 6 \quad \mathbf{-}$$ **تکمیل جدول:** | $\mathbf{x}$ | $x < \mathbf{3}$ | $\mathbf{3}$ | $x > \mathbf{3}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{y = -2x + 6}$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 83 ریاضی دهم - بخش ۳ این سوال، به درک شما از رابطه‌ی بین **شیب خط ($a$)** و **علامت عبارت خطی ($y$)** در طرفین ریشه می‌پردازد. ### **مقایسه دو جدول تعیین علامت** | | **خط اول: $y = 2x - 6$** (شیب $\mathbf{a = +2}$) | **خط دوم: $y = -2x + 6$** (شیب $\mathbf{a = -2}$) | | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{x < 3}$ | $\mathbf{-}$ (مخالف علامت $a$) | $\mathbf{+}$ (مخالف علامت $a$) | | $\mathbf{x > 3}$ | $\mathbf{+}$ (موافق علامت $a$) | $\mathbf{-}$ (موافق علامت $a$) | **توضیح تفاوت:** **علامت ضریب $\mathbf{x}$ (شیب $a$)، ترتیب علامت‌های $\mathbf{y}$ را در اطراف ریشه، معکوس کرده است:** 1. **در خط اول ($a = +2$):** علامت‌ها از چپ به راست به صورت **منفی $\leftarrow$ صفر $\leftarrow$ مثبت** ($$- \quad 0 \quad +$$) مرتب شدند. 2. **در خط دوم ($a = -2$):** علامت‌ها از چپ به راست به صورت **مثبت $\leftarrow$ صفر $\leftarrow$ منفی** ($$ + \quad 0 \quad -$$) مرتب شدند. **نتیجه‌گیری:** علامت $y$ (عبارت خطی) در ناحیه‌ی **بعد از ریشه** ($x > \text{ریشه}$) همواره **موافق علامت ضریب $a$** است، و در ناحیه‌ی **قبل از ریشه** ($x < \text{ریشه}$) همواره **مخالف علامت ضریب $a$** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 84 ریاضی دهم - بخش ۴ این بخش **تعمیم نهایی** و اثبات قاعده کلی **تعیین علامت عبارت خطی** است که بر اساس شیب و ریشه بنا شده است. این جدول، خلاصه‌ی رفتاری است که در دو قسمت قبلی مشاهده کردید. ### **اثبات جدول تعیین علامت $\mathbf{y = ax + b}$** **گام ۱: پیدا کردن ریشه (نقطه‌ی تعیین علامت)** ریشه‌ی معادله $ax + b = 0$، نقطه‌ای است که در آن عبارت صفر می‌شود: $$ax + b = 0 \Rightarrow ax = -b \Rightarrow \mathbf{x = -\frac{b}{a}}$$ (این مقدار، نقطه‌ی میانی جدول است که $y=0$ است.) **گام ۲: تحلیل علامت در ناحیه‌ی $\mathbf{x > -\frac{b}{a}}$** یک عدد بزرگ‌تر از ریشه (مثلاً $x_0$) را در نظر بگیرید: $$x_0 > -\frac{b}{a} \Rightarrow x_0 + \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow \frac{ax_0 + b}{a} > 0$$ * **اگر $\mathbf{a > 0}$ باشد:** برای مثبت شدن کسر، صورت ($ax_0 + b = y$) باید مثبت باشد: $\mathbf{y > 0}$. * **اگر $\mathbf{a < 0}$ باشد:** برای مثبت شدن کسر، صورت ($ax_0 + b = y$) باید منفی باشد: $\mathbf{y < 0}$. **نتیجه:** در هر دو حالت، علامت $y$ (عبارت $ax+b$) در ناحیه‌ی **$x > -\frac{b}{a}$** همواره **موافق علامت ضریب $a$** است. **گام ۳: تحلیل علامت در ناحیه‌ی $\mathbf{x < -\frac{b}{a}}$** یک عدد کوچک‌تر از ریشه (مثلاً $x_1$) را در نظر بگیرید: $$x_1 < -\frac{b}{a} \Rightarrow x_1 + \frac{b}{a} < 0 \Rightarrow \frac{ax_1 + b}{a} < 0$$ * **اگر $\mathbf{a > 0}$ باشد:** برای منفی شدن کسر، صورت ($ax_1 + b = y$) باید منفی باشد: $\mathbf{y < 0}$. * **اگر $\mathbf{a < 0}$ باشد:** برای منفی شدن کسر، صورت ($ax_1 + b = y$) باید مثبت باشد: $\mathbf{y > 0}$. **نتیجه:** در هر دو حالت، علامت $y$ (عبارت $ax+b$) در ناحیه‌ی **$x < -\frac{b}{a}$** همواره **مخالف علامت ضریب $a$** است.